点击每题下方「查看解析」可展开详细解答；点击右上角按钮可进入纯净刷题模式。第八章经典练习原扫描件缺少第 13 题，本页不虚构题目；第 15 题条件相互矛盾，页内已如实说明。
单项选择题 1 设 $\boldsymbol a=\{-1,1,2\}$，$\boldsymbol b=\{3,0,4\}$，则向量 $\boldsymbol a$ 在向量 $\boldsymbol b$ 上的投影为（ ）
A. $\dfrac5{\sqrt6}$ B. $1$ C. $-\dfrac5{\sqrt6}$ D. $-1$
查看解析 答案：B，$1$ 向量 $\boldsymbol a$ 在 $\boldsymbol b$ 上的投影公式为 $\operatorname{proj}_{\boldsymbol b}\boldsymbol a=\dfrac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol b|}$。
点积 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=-3+0+8=5$，且 $|\boldsymbol b|=\sqrt{3^2+0^2+4^2}=5$。
所以投影为 $\dfrac55=1$。
单项选择题 2 已知向量 $\boldsymbol a=\{2,1,-2\}$，向量 $\boldsymbol b=\{3,-2,1\}$，则 $2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b+|\boldsymbol a\times\boldsymbol b|=$（ ）
A. $-4+\sqrt{122}$ B. $-16$ C. $4+\sqrt{122}$ D. $16+\sqrt{122}$
查看解析 答案：C，$4+\sqrt{122}$ $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=2\cdot3+1\cdot(-2)+(-2)\cdot1=6-2-2=2$，所以 $2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=4$。
$\boldsymbol a\times\boldsymbol b=(-3,-8,-7)$。检查：第一分量 $1\cdot1-(-2)(-2)=-3$，第二分量 $(-2)\cdot3-2\cdot1=-8$，第三分量 $2(-2)-1\cdot3=-7$。
$|\boldsymbol a\times\boldsymbol b|=\sqrt{9+64+49}=\sqrt{122}$，故原式为 $4+\sqrt{122}$。
单项选择题 3 已知向量 $\boldsymbol a=\{1,4,2\}$，$\boldsymbol b=\{2,-1,k\}$，且 $\boldsymbol a\perp\boldsymbol b$，则 $k=$（ ）
A. $-1$ B. $0$ C. $1$ D. $2$
查看解析 答案：C，$1$ 垂直等价于点积为零：$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=1\cdot2+4\cdot(-1)+2k=0$。
于是 $2-4+2k=0$，解得 $k=1$。
单项选择题 4 已知两点 $A(3,1,2)$ 和 $B(4,0,2)$，则向量 $\overrightarrow{AB}$ 的方向角为（ ）
A. $3,\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{\pi}{3}$ B. $\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}$ C. $\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}$ D. $\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}$
查看解析 答案：B，$\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}$ $\overrightarrow{AB}=(1,-1,0)$，其长度为 $\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt2$。
三个方向余弦分别为 $\cos\alpha=\dfrac1{\sqrt2}$、$\cos\beta=-\dfrac1{\sqrt2}$、$\cos\gamma=0$。
因此方向角依次为 $\alpha=\dfrac\pi4$、$\beta=\dfrac{3\pi}4$、$\gamma=\dfrac\pi2$。
单项选择题 5 点 $M(4,-2,5)$ 关于 $yOz$ 平面的对称点为（ ）
A. $(-4,-2,5)$ B. $(-4,-2,-5)$ C. $(-4,2,5)$ D. $(4,-2,5)$
查看解析 答案：A，$(-4,-2,5)$ 关于 $yOz$ 平面对称时，横坐标变号，而纵坐标、竖坐标不变。
所以对称点为 $(-4,-2,5)$。
单项选择题 6 已知向量 $\boldsymbol a=\{2,3,5\}$，$\boldsymbol b=\{3,4,1\}$，则 $3\boldsymbol a-2\boldsymbol b=$（ ）
A. $(0,-1,13)$ B. $(12,17,17)$ C. $(-1,-1,4)$ D. $(0,1,13)$
查看解析 答案：D，$(0,1,13)$ $3\boldsymbol a=(6,9,15)$，$2\boldsymbol b=(6,8,2)$。
对应分量相减得 $(6-6,9-8,15-2)=(0,1,13)$。
单项选择题 7 点 $M_0(1,2,1)$ 到平面 $\Pi:3x-4y+5z+2=0$ 的距离 $d=$（ ）
A. $\dfrac25$ B. $\dfrac{\sqrt2}{5}$ C. $\dfrac52$ D. $\dfrac{\sqrt5}{2}$
查看解析 答案：B，$\dfrac{\sqrt2}{5}$ 点到平面的距离公式为 $d=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$。
分子为 $|3-8+5+2|=2$，分母为 $\sqrt{9+16+25}=\sqrt{50}=5\sqrt2$。
因此 $d=\dfrac2{5\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{5}$。
单项选择题 8 直线 $\begin{cases}x+2y-z+5=0,\\2x-y+z+6=0\end{cases}$ 与直线 $\dfrac{x-1}{-3}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z+2}{5}$ 的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 以上都不对
查看解析 答案：D，以上都不对（两直线既不平行也不垂直） 第一条直线的方向向量为其两个平面法向量的叉积：$(1,2,-1)\times(2,-1,1)=(-1,3,5)$。
第二条直线方向向量为 $(-3,3,5)$。二者各分量之比不相同，因此不平行。
两方向向量的点积为 $(-1)(-3)+3\cdot3+5\cdot5=37\ne0$，因此也不垂直。
所以选“以上都不对”。
单项选择题 9 若平面 $2x+ay+4z+9=0$ 与平面 $x-5y+2z-7=0$ 平行，则 $a$ 的值为（ ）
A. $-5$ B. $5$ C. $-10$ D. $10$
查看解析 答案：C，$-10$ 两平面的法向量分别为 $(2,a,4)$ 与 $(1,-5,2)$。平行时法向量成比例。
由第一、第三分量可知比例因子为 $2$，故 $(2,a,4)=2(1,-5,2)$。
于是 $a=2(-5)=-10$。
单项选择题 10 过点 $M_0(1,-1,2)$ 且垂直于直线 $l:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-1}{3}=\dfrac z1$ 的平面方程是（ ）
A. $x+2y+z-1=0$ B. $2x+3y+z+1=0$ C. $x-2y+z-5=0$ D. $2x+3y+z-1=0$
查看解析 答案：D，$2x+3y+z-1=0$ 平面的法向量应平行于该直线方向向量 $\boldsymbol n=(2,3,1)$。
过点 $(1,-1,2)$ 的点法式方程为 $2(x-1)+3(y+1)+(z-2)=0$。
展开得 $2x+3y+z-1=0$。
单项选择题 11 过点 $(-1,-2,-3)$ 且平行于 $xOy$ 面的平面方程为（ ）
A. $z+3=0$ B. $2x-y=0$ C. $x+1=0$ D. $x+y-z=0$
查看解析 答案：A，$z+3=0$ $xOy$ 面的方程为 $z=0$，其法向量为 $(0,0,1)$。
所求平面与 $xOy$ 面平行，因此方程形如 $z=C$。
代入点 $(-1,-2,-3)$，得 $C=-3$，即 $z+3=0$。
单项选择题 12 过点 $M(1,0,-2)$ 且与直线 $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac y1=\dfrac{z+1}{1}$ 及 $\dfrac x1=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+1}{0}$ 都垂直的直线方程为（ ）
A. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac y1=\dfrac{z+2}{-2}$ B. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac y1=\dfrac{z+2}{-1}$ C. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac y1=\dfrac{z-2}{-2}$ D. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac y1=\dfrac{z+2}{1}$
查看解析 答案：A 所求直线方向向量 $\boldsymbol d$ 同时垂直于两条已知直线的方向向量，故可取 $\boldsymbol d=(1,1,1)\times(1,-1,0)$。
计算得 $\boldsymbol d=(1,1,-2)$。
过点 $(1,0,-2)$，故方程为 $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac y1=\dfrac{z+2}{-2}$。
单项选择题 13 方程 $x^2+y^2-z^2=0$ 表示的二次曲面是（ ）
A. 球面 B. 旋转抛物面 C. 圆锥面 D. 圆柱面
查看解析 答案：C，圆锥面 方程可写成 $z^2=x^2+y^2$。
用平行于 $xOy$ 面的平面 $z=h$ 截曲面，得到半径 $|h|$ 的圆；过 $z$ 轴的截线是两条相交直线。
这正是以原点为顶点、以 $z$ 轴为对称轴的圆锥面。
填空题 1 向量 $\boldsymbol a=(-1,0,3)$ 与向量 $\boldsymbol b=(-6,\sqrt7,-2)$ 的夹角为______。
查看解析 答案：$\dfrac{\pi}{2}$（两向量垂直） $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=(-1)(-6)+0\cdot\sqrt7+3(-2)=6-6=0$。
非零向量点积为零，说明两向量垂直，夹角为 $\dfrac\pi2$。
填空题 2 与向量 $(2,2,-1)$ 平行的单位向量为______。
查看解析 答案：$\pm\dfrac13(2,2,-1)$ 原向量长度为 $\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt9=3$。
与其平行的单位向量有两个相反方向，即 $\pm\dfrac1{3}(2,2,-1)$。
填空题 3 过点 $M(1,2,-1)$ 且与直线 $\begin{cases}x=-t+2,\\y=3t-4,\\z=t-1\end{cases}$ 垂直的平面方程是______。
查看解析 答案：$-x+3y+z-4=0$ 直线的方向向量为 $(-1,3,1)$，它就是所求平面的法向量。
过点 $(1,2,-1)$ 的平面为 $-(x-1)+3(y-2)+(z+1)=0$。
展开并合并常数：$-x+3y+z-4=0$。
填空题 4 若直线 $L:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{n}=\dfrac{z-2}{3}$ 与平面 $\Pi:3x-4y+3z+1=0$ 平行，则常数 $n=$______。
查看解析 答案：$3$ 直线方向向量为 $(1,n,3)$，平面法向量为 $(3,-4,3)$。
直线与平面平行时，直线方向与法向量垂直，故点积为零：$3-4n+9=0$。
解得 $n=3$。此时直线上的点 $(1,-3,2)$ 代入平面得 $3+12+6+1\ne0$，所以确实平行而不在平面内。
填空题 5 过点 $(-1,-2,3)$ 且平行于 $z$ 轴的直线的点向式方程为______。
查看解析 答案：$\dfrac{x+1}{0}=\dfrac{y+2}{0}=\dfrac{z-3}{1}$ 平行于 $z$ 轴的方向向量可取 $(0,0,1)$。
直线的点向式为 $\dfrac{x-x_0}{m}=\dfrac{y-y_0}{n}=\dfrac{z-z_0}{p}$。
代入点 $(-1,-2,3)$，得 $\dfrac{x+1}{0}=\dfrac{y+2}{0}=\dfrac{z-3}{1}$。
填空题 6 设 $\boldsymbol a=\{2,1,2\}$，$\boldsymbol b=\{4,-1,10\}$，$\boldsymbol c=\boldsymbol b-\lambda\boldsymbol a$，且 $\boldsymbol a\perp\boldsymbol c$，则 $\lambda=$______。
查看解析 答案：$3$ 先写出 $\boldsymbol c=(4-2\lambda,-1-\lambda,10-2\lambda)$。
由垂直条件，$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c=0$。
于是 $2(4-2\lambda)+(-1-\lambda)+2(10-2\lambda)=27-9\lambda=0$，解得 $\lambda=3$。
计算题 1 已知向量 $\boldsymbol a=2\boldsymbol i-3\boldsymbol j+\boldsymbol k$，$\boldsymbol b=\boldsymbol i-\boldsymbol j+3\boldsymbol k$，$\boldsymbol c=\boldsymbol i-2\boldsymbol j$，求：（1）$(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c$；（2）$(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\times\boldsymbol c$。
查看解析 答案：（1）$2$；（2）$(2,1,21)$ 把向量写成坐标：$\boldsymbol a=(2,-3,1)$，$\boldsymbol b=(1,-1,3)$，$\boldsymbol c=(1,-2,0)$。
计算叉积 $\boldsymbol a\times\boldsymbol b=(-8,-5,1)$。
（1）$(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c=(-8,-5,1)\cdot(1,-2,0)=-8+10=2$。
（2）$(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\times\boldsymbol c=(-8,-5,1)\times(1,-2,0)=(2,1,21)$。
计算题 2 已知三角形的三个顶点分别是 $A(2,5,-3)$、$B(1,5,1)$、$C(2,6,3)$，求三角形的面积。
查看解析 答案：$\dfrac{\sqrt{53}}2$ $\overrightarrow{AB}=(-1,0,4)$，$\overrightarrow{AC}=(0,1,6)$。
三角形面积等于两边向量叉积模长的一半：$S=\dfrac12|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|$。
$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-4,6,-1)$，模长为 $\sqrt{16+36+1}=\sqrt{53}$。
故面积为 $\dfrac{\sqrt{53}}2$。
计算题 3 求过点 $(0,2,4)$ 且与两平面 $x+2z=1$ 和 $y-3z=2$ 平行的直线方程。
查看解析 答案：$\dfrac{x}{-2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-4}{1}$ 两平面的法向量分别为 $\boldsymbol n_1=(1,0,2)$、$\boldsymbol n_2=(0,1,-3)$。
所求直线平行于两个平面，故方向向量同时垂直于两个法向量，可取 $\boldsymbol d=\boldsymbol n_1\times\boldsymbol n_2=(-2,3,1)$。
代入点 $(0,2,4)$，得 $\dfrac{x}{-2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-4}{1}$。
计算题 4（1） 求通过点 $(4,2,-1)$ 且垂直于平面 $8x-6y+z+13=0$ 的直线方程。
查看解析 答案：$\dfrac{x-4}{8}=\dfrac{y-2}{-6}=\dfrac{z+1}{1}$ 垂直于平面时，直线的方向向量就是平面的法向量 $(8,-6,1)$。
直接写出过点 $(4,2,-1)$ 的点向式方程即可。
计算题 4（2） 求通过点 $(1,2,-3)$ 且与直线 $L:\dfrac{x}{-1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{2}$ 垂直相交的直线方程。
查看解析 答案：方向向量可取 $(4,37,-35)$，直线为 $\dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y-2}{37}=\dfrac{z+3}{-35}$ 设交点 $Q=(-t,-1+2t,2+2t)$，所求直线的方向可取 $\overrightarrow{PQ}=(-t-1,2t-3,2t+5)$，其中 $P=(1,2,-3)$。
垂直条件要求 $\overrightarrow{PQ}\cdot(-1,2,2)=0$，即 $9t+5=0$，所以 $t=-\dfrac59$。
此时 $\overrightarrow{PQ}$ 平行于 $(4,37,-35)$。
因此所求直线是 $\dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y-2}{37}=\dfrac{z+3}{-35}$。
计算题 5 判断平面 $\pi_1:2x-y+4z-1=0$ 与平面 $\pi_2:-3x+2y+2z-9=0$ 的位置关系。
查看解析 答案：两平面垂直 两平面的法向量分别为 $\boldsymbol n_1=(2,-1,4)$、$\boldsymbol n_2=(-3,2,2)$。
$\boldsymbol n_1\cdot\boldsymbol n_2=-6-2+8=0$。
法向量点积为零，说明两平面垂直。两法向量也不成比例，因此不是平行或重合。
计算题 6 判断下列直线、平面之间的位置关系：（1）直线 $\begin{cases}2x+y-1=0,\\3x+z=2\end{cases}$ 与平面 $x+2y-z=1$；（2）直线 $\dfrac x2=\dfrac y4=-\dfrac z2$ 与平面 $x+2y-z+1=0$。
查看解析 答案：（1）平行但直线不在平面内；（2）垂直相交 （1）直线方向为 $(2,1,0)\times(3,0,1)=(1,-2,-3)$。平面法向量为 $(1,2,-1)$，点积 $1-4+3=0$，所以方向平行于平面。
再取直线上一点 $(0,1,2)$，代入平面得 $0+2-2=0\ne1$，所以直线不在平面内。
（2）直线方向为 $(2,4,-2)=2(1,2,-1)$，与平面法向量平行，所以直线垂直于平面。
将直线写成参数式 $(x,y,z)=(2t,4t,-2t)$，代入平面得 $2t+8t+2t+1=12t+1=0$，所以 $t=-\dfrac1{12}$。
交点存在，故直线与平面垂直相交。
计算题 7 指出下列方程在空间中所表示的曲面的名称：（1）$(x-1)^2+y^2+(z+1)^2=1$；（2）$2x^2-y^2+2z^2=1$；（3）$-x^2-y^2+z^2=1$；（4）$x^2+y^2+4z=0$；（5）$x^2-y^2-z^2=0$；（6）$y^2=3x$。
查看解析 答案：（1）球面；（2）单叶双曲面；（3）双叶双曲面；（4）椭圆抛物面（向 $z<0$ 开口）；（5）圆锥面；（6）抛物柱面 （1）是以 $(1,0,-1)$ 为球心、半径为 $1$ 的球面。扫描件末尾的“9”是杂点，不属于方程。
（2）写成 $\dfrac{x^2}{1/2}-y^2+\dfrac{z^2}{1/2}=1$，左端一正一负一正，是单叶双曲面。
（3）写成 $z^2-x^2-y^2=1$，沿 $z$ 轴分成两支，是双叶双曲面。
（4）$z=-\dfrac14(x^2+y^2)$，是开口向下的旋转椭圆抛物面。
（5）$x^2=y^2+z^2$，是顶点在原点、轴为 $x$ 轴的圆锥面。
（6）方程不含 $z$，表示母线平行于 $z$ 轴的抛物柱面。
经典练习 1 $\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0$ 是级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 收敛的（ ）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
查看解析 答案：B，必要条件 若级数收敛，则通项必趋于零，因此“通项趋于零”是级数收敛的必要条件。
但通项趋于零不能保证级数收敛，例如调和级数 $\sum\dfrac1n$ 的通项趋于零，却发散。
所以它是必要但不充分条件。
经典练习 2 已知常数项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 的部分和 $S_n=\dfrac n{n+1}$（$n\in\mathbb N^*$），则下列常数项级数中发散的是（ ）
A. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}2u_n$ B. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(u_n+u_{n+1})$ C. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(u_n+\dfrac1n\right)$ D. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[u_n-\left(\dfrac35\right)^n\right]$
查看解析 答案：C 先求通项：$u_1=S_1=\dfrac12$；当 $n\ge2$ 时，$u_n=S_n-S_{n-1}=\dfrac n{n+1}-\dfrac{n-1}{n}=\dfrac1{n(n+1)}$。
原级数收敛，因为 $S_n\to1$。乘以常数 $2$ 后 A 收敛；B 的部分和可写成 $(u_1+u_2)+(u_2+u_3)+\cdots$，也收敛。
C 中 $\sum\left(u_n+\dfrac1n\right)$ 含发散级数 $\sum\dfrac1n$，故发散。
D 中 $\sum\left[u_n-\left(\dfrac35\right)^n\right]$ 是两个收敛级数之差，仍收敛。
经典练习 3 级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{2+(-1)^n}{3^n}=$（ ）
A. $2$ B. $1$ C. $\dfrac34$ D. $\dfrac12$
查看解析 答案：C，$\dfrac34$ 把通项拆开：$\dfrac{2+(-1)^n}{3^n}=2\left(\dfrac13\right)^n+\left(-\dfrac13\right)^n$。
$\sum_{n=1}^{\infty}2(1/3)^n=2\cdot\dfrac{1/3}{1-1/3}=1$。
$\sum_{n=1}^{\infty}(-1/3)^n=\dfrac{-1/3}{1+1/3}=-\dfrac14$。
两式相加得 $1-\dfrac14=\dfrac34$。
经典练习 4 设级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 满足 $0\le a_n\le\dfrac1{5^n}$，则下列级数发散的是（ ）
A. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}3a_n$ B. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n+3}$ C. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(a_n+\dfrac1n\right)$ D. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(a_n-\dfrac1{\sqrt{n^3}}\right)$
查看解析 答案：C 由比较判别法知 $\sum a_n$ 收敛。
A、B、D 分别由收敛级数的常数倍、去有限项、与收敛级数 $\sum n^{-3/2}$ 的线性组合得到，均收敛。
C 为 $\sum\left(a_n+\dfrac1n\right)$，其中调和级数 $\sum\dfrac1n$ 发散，所以该级数发散。
经典练习 5 下列级数收敛的是（ ）
A. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}e^{1/n}$ B. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac32\right)^n$ C. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{2}{3^n}-\dfrac1{n^3}\right)$ D. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[\left(\dfrac32\right)^n+\dfrac1n\right]$
查看解析 答案：C A 的通项 $e^{1/n}\to1\ne0$，发散。B 是公比 $\dfrac32>1$ 的几何级数，发散。
C 为 $\sum\dfrac{2}{3^n}-\sum\dfrac1{n^3}$，两个级数都收敛，所以原级数收敛。
D 含发散项 $\left(\dfrac32\right)^n$，故发散。
经典练习 6 级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac1{n(n+1)}$ 的和为______。
查看解析 答案：$1$ 裂项：$\dfrac1{n(n+1)}=\dfrac1n-\dfrac1{n+1}$。
部分和 $S_N=\left(1-\dfrac12\right)+\left(\dfrac12-\dfrac13\right)+\cdots+\left(\dfrac1N-\dfrac1{N+1}\right)=1-\dfrac1{N+1}$。
取极限得 $S=1$。
经典练习 7 判定级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac n{|\sin n|+2^n}$ 的收敛性。
查看解析 答案：收敛 因为 $|\sin n|\ge0$，所以 $0<\dfrac n{|\sin n|+2^n}\le\dfrac n{2^n}$。
对 $\sum\dfrac n{2^n}$ 用比值判别法：$\dfrac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n}=\dfrac{n+1}{2n}\to\dfrac12<1$，故它收敛。
由正项级数比较判别法，原级数收敛。
经典练习 8 判定级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^n}{2^n n!}$ 的收敛性。
查看解析 答案：发散 记 $u_n=\dfrac{n^n}{2^n n!}$，使用比值判别法。
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac12\left(1+\dfrac1n\right)^n$。
由于 $\left(1+\dfrac1n\right)^n\to e$，所以该比值趋于 $\dfrac e2>1$。
因此原级数发散。
经典练习 9 判定级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac1{n^2}+\dfrac{4^n}{n!}\right)$ 的敛散性。
查看解析 答案：收敛 $\sum\dfrac1{n^2}$ 是 $p=2>1$ 的 $p$ 级数，收敛。
对 $\sum\dfrac{4^n}{n!}$ 用比值法：$\dfrac{4^{n+1}/(n+1)!}{4^n/n!}=\dfrac4{n+1}\to0<1$，收敛。
两个收敛级数之和仍收敛。
经典练习 10 判断 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac n{2n+1}\right)^n$ 的收敛性。
查看解析 答案：收敛 令 $u_n=\left(\dfrac n{2n+1}\right)^n$，使用根值判别法。
$\sqrt[n]{u_n}=\dfrac n{2n+1}\to\dfrac12<1$。
因此级数收敛。
经典练习 11 已知级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 满足 $u_{n+1}=\dfrac13\left(1+\dfrac1n\right)^n u_n$（$n\in\mathbb N^*$），且 $u_1=1$，判定级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 的收敛性。
查看解析 答案：收敛 因为 $u_1=1>0$，递推式中的因子均为正，所以 $u_n>0$。
使用比值判别法：$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac13\left(1+\dfrac1n\right)^n\to\dfrac e3$。
因为 $\dfrac e3<1$，所以原级数收敛。
单项选择题 1 下列级数收敛的是（ ）
A. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\sin\dfrac1n$ B. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos n}{2^n}$ C. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\dfrac32\right)^n$ D. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac1{\sqrt[3]{n^2}}$
查看解析 答案：B A 中 $n\sin\dfrac1n\to1\ne0$，发散。C 中通项绝对值 $\left(\dfrac32\right)^n\to\infty$，发散。D 是 $p=\dfrac23\le1$ 的 $p$ 级数，发散。
B 中 $\left|\dfrac{\cos n}{2^n}\right|\le\dfrac1{2^n}$，而几何级数 $\sum2^{-n}$ 收敛。
所以 B 收敛。
单项选择题 2 若幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-1)^n$ 在 $x=-1$ 处收敛，则此级数在 $x=2$ 处（ ）
A. 可能收敛也可能发散 B. 发散 C. 条件收敛 D. 绝对收敛
查看解析 答案：D，绝对收敛 幂级数的收敛区间关于中心 $x=1$ 对称。它在 $x=-1$ 收敛，收敛半径至少为 $|-1-1|=2$。
点 $x=2$ 到中心距离为 $|2-1|=1<2$。
在收敛半径内部，幂级数绝对收敛，所以在 $x=2$ 处绝对收敛。
单项选择题 3 已知 $\dfrac1{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots$，则 $\dfrac1{1+x^2}$ 展开为 $x$ 的幂级数为（ ）
A. $1+x^2+x^4+x^6+\cdots$ B. $-1+x^2-x^4+\cdots$ C. $1-x^2+x^4-x^6+\cdots$ D. $-1-x^2-x^4-\cdots$
查看解析 答案：C 在已知展开式中把 $x$ 换成 $x^2$。
得到 $\dfrac1{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots$。
该展开在 $|x^2|<1$，即 $|x|<1$ 时成立。
单项选择题 4 幂级数 $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\dfrac1{n!}x^n$ 在收敛区间 $(-\infty,+\infty)$ 内的和函数为（ ）
A. $e^x$ B. $e^x+1$ C. $e^x-1$ D. $e^x-x-1$
查看解析 答案：D，$e^x-x-1$ 标准展开式为 $e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots$。
题中级数从 $n=2$ 开始，也就是从标准展开式中去掉 $n=0$ 的 $1$ 和 $n=1$ 的 $x$。
因此和函数为 $e^x-1-x$。
单项选择题 5 若 $u_n>0$ 且 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 收敛（$C$ 为正常数），则（ ）
A. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sqrt[3]{u_n}$ 收敛 B. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_nu_{n+1}$ 收敛 C. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(u_n+3C)^2$ 收敛 D. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sqrt{Cu_n}$ 收敛
查看解析 答案：B A 中 $\sum\sqrt[3]{u_n}$ 未必收敛。例如 $u_n=\dfrac1{n^2}$ 时，通项为 $\dfrac1{n^{2/3}}\not\to0$。
B 中由收敛必要条件知 $u_n\to0$，故从某项起 $0<u_n\le1$。于是 $u_nu_{n+1}\le u_n$，由比较法知 $\sum u_nu_{n+1}$ 收敛。
C 中通项 $(u_n+3C)^2\to9C^2>0$，发散。D 中例如 $u_n=1/n^2$ 时 $\sum\sqrt{u_n}=\sum1/n$ 发散。
单项选择题 6 下列各选项正确的是（ ）
A. 若 $\sum u_n^2$ 和 $\sum v_n^2$ 都收敛，则 $\sum(u_n+v_n)^2$ 收敛 B. 若 $\sum|u_nv_n|$ 收敛，则 $\sum u_n^2$ 和 $\sum v_n^2$ 都收敛 C. 若正项级数 $\sum u_n$ 发散，则 $u_n\ge\dfrac1n$ D. 原扫描件此项印刷损坏，无法完整辨认；依可见部分不是正确比较法
查看解析 答案：A A：若 $\sum u_n^2$、$\sum v_n^2$ 都收敛，则 $(u_n+v_n)^2=u_n^2+2u_nv_n+v_n^2$。又 $2|u_nv_n|\le u_n^2+v_n^2$，故 $\sum(u_n+v_n)^2$ 收敛。
B 不一定成立。例如 $u_n=v_n=\dfrac1n$ 时 $\sum|u_nv_n|$ 收敛，但 $\sum u_n^2$ 发散。
C 不对。正项级数发散不等于每项都不小于 $1/n$。D 选项在扫描件中印刷损坏，按可见部分也不构成正确的比较判别法表述。
单项选择题 7 下列级数中收敛的是（ ）
A. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^k}{n!}$（$k$ 为常数） B. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[\left(\dfrac32\right)^n+\left(\dfrac23\right)^n\right]$ C. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n+2}{n^2+3}$ D. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac n{n+30}$
查看解析 答案：A A 中固定常数 $k$，$\dfrac{(n+1)^k/(n+1)!}{n^k/n!}=\dfrac{(1+1/n)^k}{n+1}\to0<1$，所以收敛。
B 含发散几何项 $(3/2)^n$。C 与 $\dfrac1n$ 同阶，发散。D 的通项 $\dfrac n{n+30}\to1\ne0$，发散。
单项选择题 8 下列级数中收敛的是（ ）
A. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac2{3n^2-1}$ B. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac1{5^n}+\dfrac12\right)$ C. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{5^n}{3^n}$ D. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln(2n)$
查看解析 答案：A A 的通项与 $\dfrac1{n^2}$ 同阶，故收敛。
B 的通项 $5^{-n}+\dfrac12\to\dfrac12\ne0$，发散。C 是公比 $\dfrac53>1$ 的几何级数，发散。D 的通项 $\ln(2n)\to\infty$，发散。
单项选择题 9 下列级数中收敛的是（ ）
A. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin\dfrac1{5n}$ B. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac1{\sqrt[4]{n}}$ C. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^2}{3^n}$ D. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac1{n+4}$
查看解析 答案：C A 中 $\sin\dfrac1{5n}\sim\dfrac1{5n}$，对应级数发散。B 是 $p=\dfrac14\le1$ 的 $p$ 级数，发散。D 与调和级数同阶，发散。
C 中对 $\sum\dfrac{n^2}{3^n}$ 用比值法，比值趋于 $\dfrac13<1$，故收敛。
单项选择题 10 下列级数发散的是（ ）
A. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\dfrac1n$ B. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\dfrac2{5^n}$ C. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac1{\sqrt n}$ D. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\dfrac1{n^2}$
查看解析 答案：C A 是交错调和级数，按莱布尼茨判别法收敛。B、D 都绝对收敛。
C 为 $p=\dfrac12\le1$ 的 $p$ 级数，发散。
单项选择题 11 下列级数中发散的是（ ）
A. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac1{3^n}$ B. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$ C. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac n{3^n}$ D. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac1{\sqrt[3]{n(n+1)}}$
查看解析 答案：D A 是收敛的几何级数。B 是交错级数，$\dfrac1{\sqrt{n+1}}$ 单调递减趋零，故收敛。C 中 $\dfrac n{3^n}$ 收敛。
D 的通项 $\dfrac1{\sqrt[3]{n(n+1)}}\sim\dfrac1{n^{2/3}}$，而 $\dfrac23\le1$，所以发散。
单项选择题 12 下列级数中，条件收敛的是（ ）
A. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\dfrac1{\sqrt n}$ B. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(-\dfrac12\right)^n$ C. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\dfrac1{\sqrt[3]{n}}$ D. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac n{n+1}$
查看解析 答案：A、C（原题为单选题，但 A、C 均条件收敛） A：$\sum(-1)^n/\sqrt n$ 由莱布尼茨判别法收敛，但 $\sum1/\sqrt n$ 发散，所以条件收敛。
B：公比 $-1/2$ 的几何级数，绝对收敛。D 的通项 $\dfrac n{n+1}\to1\ne0$，发散。
C：$\sum(-1)^n/n^{1/3}$ 收敛，但 $\sum n^{-1/3}$ 是 $p=1/3\le1$ 的 $p$ 级数，发散，所以也条件收敛。
因此扫描题作为单选题存在命题错误，A、C 都满足条件。
单项选择题 13 下列级数中，绝对收敛的是（ ）
A. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{2n+1}}$ B. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\dfrac32\right)^n$ C. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(\dfrac1n\right)^{3/2}$ D. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\dfrac{n-1}{n}$
查看解析 答案：C A 加绝对值后为 $\sum1/\sqrt{2n+1}$，发散。B 加绝对值后仍为公比 $\dfrac32$ 的几何级数，发散。D 的通项不趋于零，不可能收敛。
C 加绝对值后为 $\sum\dfrac1{n^{3/2}}$，是 $p=\dfrac32>1$ 的 $p$ 级数，收敛。
单项选择题 14 设 $u_n=\ln\left(1+\dfrac1{\sqrt n}\right)$，则级数（ ）
A. $\sum u_n$ 与 $\sum u_n^2$ 都收敛 B. $\sum u_n$ 与 $\sum u_n^2$ 都发散 C. $\sum u_n$ 收敛，而 $\sum u_n^2$ 发散 D. $\sum u_n$ 发散，而 $\sum u_n^2$ 收敛
查看解析 答案：B，$\sum u_n$ 与 $\sum u_n^2$ 都发散 当 $x\to0$ 时，$\ln(1+x)\sim x$，所以 $u_n\sim\dfrac1{\sqrt n}$。
$\sum\dfrac1{\sqrt n}$ 是 $p=1/2\le1$ 的 $p$ 级数，发散，因此 $\sum u_n$ 发散。
又 $u_n^2\sim\dfrac1n$，而调和级数发散，所以 $\sum u_n^2$ 也发散。
单项选择题 15 级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}c\left(\dfrac ab\right)^n$（$c\ne0,b\ne0$）收敛的条件是（ ）
A. $a<b$ B. $|a|>|b|$ C. $|a|<|c|$ D. $|a|<|b|$
查看解析 答案：D，$|a|<|b|$ 这是公比为 $\dfrac ab$ 的几何级数。乘上非零常数 $c$ 不改变敛散性。
几何级数收敛当且仅当公比绝对值小于 $1$，即 $\left|\dfrac ab\right|<1$。
等价于 $|a|<|b|$。
单项选择题 16 若 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 发散，则（ ）
A. 可能有 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$ B. 一定有 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n\ne0$ C. 一定有 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty$ D. 一定有 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$
查看解析 答案：A，可能有 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$ 级数发散并不意味着通项一定不趋于零。典型例子是调和级数 $\sum\dfrac1n$：它发散，但 $\dfrac1n\to0$。
因此只能确定“可能”有通项趋于零，而不能断定一定有或一定没有。
单项选择题 17 若 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$，则常数项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$（ ）
A. 收敛且和不为零 B. 发散 C. 收敛且和为零 D. 可能收敛也可能发散
查看解析 答案：D，可能收敛也可能发散 通项趋于零只是收敛的必要条件，不是充分条件。
例如 $\sum\dfrac1{n^2}$ 收敛，而 $\sum\dfrac1n$ 发散，两者通项都趋于零。
单项选择题 18 若级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 收敛，则下列级数中收敛的是（ ）
A. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(u_n+e)$ B. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_{n+3}$ C. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sqrt{u_n}$ D. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac5{u_n}$
查看解析 答案：B，$\sum u_{n+3}$ 去掉有限项不影响级数的敛散性，因此 $u_1,u_2,u_3$ 去掉后的级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_{n+3}$ 仍收敛。
A 多出无穷多个常数 $e$，发散。C、D 在一般条件下都没有保证，甚至可能无定义或发散。
单项选择题 19 级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\dfrac1n\right)$（ ）
A. 收敛于 $0$ B. 收敛于 $\ln2$ C. 发散 D. 无法判断敛散性
查看解析 答案：C，发散 $\ln\left(1+\dfrac1n\right)=\ln\dfrac{n+1}{n}=\ln(n+1)-\ln n$。
部分和 $S_N=\ln(N+1)-\ln1=\ln(N+1)$。
当 $N\to\infty$ 时，$S_N\to+\infty$，故级数发散。
单项选择题 20 下列级数中，收敛的级数是（ ）
A. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac1e$ B. $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left(\dfrac32\right)^n$ C. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac1{3n}$ D. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac1{2^n}$
查看解析 答案：D A 的通项恒为 $1/e$，发散。B 的公比为 $\dfrac32>1$，发散。C 为调和级数的常数倍，发散。
D 为公比 $\dfrac12$ 的几何级数，收敛。
填空题 1 若 $\lim\limits_{n\to\infty}nu_n=k>0$，则正项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 的敛散性为______。
查看解析 答案：发散 由 $\lim\limits_{n\to\infty}nu_n=k>0$，当 $n$ 充分大时，$u_n$ 与 $\dfrac1n$ 同阶。
更具体地，$u_n\sim\dfrac{k}{n}$。而调和级数 $\sum\dfrac1n$ 发散。
由极限比较判别法，原正项级数发散。
填空题 2 若正项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 的通项满足 $u_n<n^{-6.66}$，则级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 是______。（填“收敛”或“发散”）
查看解析 答案：收敛 因为 $6.66>1$，所以 $p$ 级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac1{n^{6.66}}$ 收敛。
又 $0<u_n<\dfrac1{n^{6.66}}$，由正项级数的比较判别法可知原级数收敛。
填空题 3 级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{2n+1}{n^3}$ 是______级数。（填“收敛”或“发散”）
查看解析 答案：收敛 将通项拆开：$\dfrac{2n+1}{n^3}=\dfrac2{n^2}+\dfrac1{n^3}$。
$\sum\dfrac1{n^2}$ 与 $\sum\dfrac1{n^3}$ 都是 $p>1$ 的 $p$ 级数，因此都收敛。
两个收敛级数逐项相加仍收敛，所以原级数收敛。
填空题 4 已知级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{a^n}{n^2}$（$a\ge0$）收敛，则 $a$ 满足的条件为______。
查看解析 答案：$0\le a\le1$ 当 $0\le a<1$ 时，$\dfrac{a^n}{n^2}\le a^n$，而几何级数 $\sum a^n$ 收敛，因此原级数收敛。
当 $a=1$ 时，级数为 $\sum\dfrac1{n^2}$，这是 $p=2>1$ 的 $p$ 级数，也收敛。
当 $a>1$ 时，比值 $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=a\left(\dfrac n{n+1}\right)^2\to a>1$，故级数发散。
综上，$0\le a\le1$。
填空题 5 设级数为 $\dfrac14+\dfrac29+\dfrac3{16}+\dfrac4{25}+\cdots+\dfrac n{(n+1)^2}+\cdots$，则它的一般项是______。
查看解析 答案：$u_n=\dfrac n{(n+1)^2}$ 观察第 $n$ 项的分子依次为 $1,2,3,4,\ldots$，所以分子是 $n$。
分母依次为 $2^2,3^2,4^2,5^2,\ldots$，所以分母是 $(n+1)^2$。
因此一般项为 $u_n=\dfrac n{(n+1)^2}$。
填空题 6 若级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 的部分和为 $S_n=1-\dfrac1{2^n}$，则 $u_n=$______。
查看解析 答案：$u_n=\dfrac1{2^n}$ 当 $n=1$ 时，$u_1=S_1=1-\dfrac12=\dfrac12$。
当 $n\ge2$ 时，$u_n=S_n-S_{n-1}=\left(1-\dfrac1{2^n}\right)-\left(1-\dfrac1{2^{n-1}}\right)$。
化简得 $u_n=\dfrac1{2^{n-1}}-\dfrac1{2^n}=\dfrac1{2^n}$。该式对 $n=1$ 也成立。
填空题 7 级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(\ln2)^n}{2^n}$ 的和为______。
查看解析 答案：$\dfrac2{2-\ln2}$ 将通项写成 $\left(\dfrac{\ln2}{2}\right)^n$。这是首项为 $1$ 的几何级数。
因为 $0<\dfrac{\ln2}{2}<1$，级数收敛，公比为 $q=\dfrac{\ln2}{2}$。
其和为 $\dfrac1{1-q}=\dfrac1{1-\ln2/2}=\dfrac2{2-\ln2}$。
填空题 8 若级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 收敛于 $s$，则 $\sum\limits_{n=2}^{\infty}u_n$ 收敛于______。
查看解析 答案：$s-u_1$ 从原级数中删去第一项，得到 $\sum\limits_{n=2}^{\infty}u_n=s-u_1$。
级数去掉有限项不会改变敛散性，只会改变和。
填空题 9 若 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n=-2$，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n=3$，则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(3u_n-2v_n)=$______。
查看解析 答案：$-12$ 根据收敛级数的线性性质，$\sum(3u_n-2v_n)=3\sum u_n-2\sum v_n$。
代入已知和：$3(-2)-2\cdot3=-6-6=-12$。
填空题 10 已知级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n=3$，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{2n}=7$，则级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=$______。
查看解析 答案：$11$ 记奇数项之和为 $O=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{2n-1}$，偶数项之和为 $E=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{2n}$。题设给出 $E=7$。
交错和满足 $-a_1+a_2-a_3+a_4-\cdots=E-O$。由题设 $E-O=3$，所以 $O=7-3=4$。
于是 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=O+E=4+7=11$。
说明：这里用到题面所隐含的可将奇数项级数与偶数项级数分别求和的条件；若只给一般条件，交错级数不能随意拆项。
填空题 11 当常数 $a$ 满足条件______时，级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac1{n^2}+a^n\right)$ 收敛。
查看解析 答案：$-1<a<1$ $\sum\dfrac1{n^2}$ 收敛，因此原级数的敛散性完全由 $\sum a^n$ 决定。
几何级数 $\sum a^n$ 在 $|a|<1$ 时收敛；当 $a=1$ 时通项不趋于零，当 $|a|>1$ 时通项也不趋于零，均发散。
所以条件是 $-1<a<1$。
填空题 12 设级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 是收敛的，则级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(2+u_n)$ 是______的。（填“收敛”或“发散”）
查看解析 答案：发散 级数收敛的必要条件是通项趋于零，因此 $u_n\to0$。
于是 $2+u_n\to2\ne0$。
通项不趋于零，所以 $\sum(2+u_n)$ 发散。
填空题 13 若级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(u_n-3c)$ 收敛，且 $c$ 为常数，则 $\lim\limits_{n\to\infty}u_n=$______。
查看解析 答案：$3c$ 收敛级数的通项必须趋于零，所以 $u_n-3c\to0$。
移项得 $\lim\limits_{n\to\infty}u_n=3c$。
经典练习 1 微分方程 $e^{-x}y'=2$ 的通解是______。
查看解析 答案：$y=2e^x+C$ 两边乘以 $e^x$，得 $y'=2e^x$。
对 $x$ 积分：$y=\displaystyle\int2e^x\,\mathrm dx=2e^x+C$。
经典练习 2 微分方程 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+2xy=2xe^{-x^2}$ 的通解是______。
查看解析 答案：$y=(x^2+C)e^{-x^2}$ 这是一阶线性方程。积分因子为 $\mu(x)=e^{\int2x\,\mathrm dx}=e^{x^2}$。
两边乘以积分因子，左边化为 $(ye^{x^2})'$，右边为 $2xe^{-x^2}e^{x^2}=2x$。
积分得 $ye^{x^2}=x^2+C$，因此 $y=(x^2+C)e^{-x^2}$。
经典练习 3 微分方程 $y''+3y'-4y=0$ 的通解为 $y=$______。
查看解析 答案：$y=C_1e^x+C_2e^{-4x}$ 写出特征方程 $r^2+3r-4=0$。
因式分解得 $(r-1)(r+4)=0$，所以 $r_1=1,r_2=-4$。
两个特征根互异，通解为 $y=C_1e^x+C_2e^{-4x}$。
经典练习 4 微分方程 $4y''-4y'+5y=0$ 的通解是______。
查看解析 答案：$y=e^{x/2}(C_1\cos x+C_2\sin x)$ 特征方程为 $4r^2-4r+5=0$。两边除以 $4$，得 $r^2-r+\dfrac54=0$。
求根：$r=\dfrac{1\pm\sqrt{1-5}}2=\dfrac12\pm i$，是一对共轭复根。
当 $r=\alpha\pm\beta i$ 时，通解为 $e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$。
代入 $\alpha=\dfrac12,\beta=1$，得 $y=e^{x/2}(C_1\cos x+C_2\sin x)$。
经典练习 5 求微分方程 $(1+x^2)\mathrm dy-(x-x\sin^2y)\mathrm dx=0$ 满足初始条件 $y|_{x=0}=0$ 的特解。
查看解析 答案：$y=\arctan\left(\dfrac12\ln(1+x^2)\right)$ 原方程可写为 $(1+x^2)\mathrm dy=x(1-\sin^2y)\mathrm dx=x\cos^2y\,\mathrm dx$。
分离变量：$\dfrac{\mathrm dy}{\cos^2y}=\dfrac{x}{1+x^2}\mathrm dx$，即 $\sec^2y\,\mathrm dy=\dfrac{x}{1+x^2}\mathrm dx$。
两边积分：$\tan y=\dfrac12\ln(1+x^2)+C$。
由 $y(0)=0$，得 $\tan0=0+C$，所以 $C=0$。
因此 $\tan y=\dfrac12\ln(1+x^2)$，即 $y=\arctan\left(\dfrac12\ln(1+x^2)\right)$。
经典练习 6 求微分方程 $y'+y\cos x=e^{-\sin x}$ 满足初始条件 $y|_{x=0}=2$ 的特解。
查看解析 答案：$y=(x+2)e^{-\sin x}$ 积分因子为 $\mu(x)=e^{\int\cos x\,\mathrm dx}=e^{\sin x}$。
方程两边乘以 $e^{\sin x}$，左边化为 $(ye^{\sin x})'$，右边化为 $e^{-\sin x}e^{\sin x}=1$。
积分得 $ye^{\sin x}=x+C$。由 $y(0)=2$，得 $2\cdot1=0+C$，所以 $C=2$。
因此 $y=(x+2)e^{-\sin x}$。
经典练习 7 若曲线经过点 $(0,1)$，且该曲线上任一点 $(x,y)$ 的切线斜率为 $2y+e^x$，求这条曲线的方程。
查看解析 答案：$y=2e^{2x}-e^x$ 由切线斜率为 $2y+e^x$，得微分方程 $y'=2y+e^x$，即 $y'-2y=e^x$。
积分因子为 $e^{-2x}$，所以 $(ye^{-2x})'=e^{-x}$。
积分得 $ye^{-2x}=-e^{-x}+C$，即 $y=Ce^{2x}-e^x$。
代入 $y(0)=1$：$1=C-1$，所以 $C=2$。故曲线为 $y=2e^{2x}-e^x$。
经典练习 8 若函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且满足 $f(x)+2\displaystyle\int_0^x f(t)\,\mathrm dt=x^2$，求 $f(x)$。
查看解析 答案：$f(x)=x-\dfrac12+\dfrac12e^{-2x}$ 在原式中令 $x=0$，得 $f(0)=0$。由于 $f$ 连续，积分上限函数可导，因此原式两边可导。
求导得 $f'(x)+2f(x)=2x$。这是一阶线性方程，积分因子为 $e^{2x}$。
于是 $(f e^{2x})'=2xe^{2x}$。积分得 $f e^{2x}=xe^{2x}-\dfrac12e^{2x}+C$。
所以 $f(x)=x-\dfrac12+Ce^{-2x}$。由 $f(0)=0$，得 $0=-\dfrac12+C$，即 $C=\dfrac12$。
因此 $f(x)=x-\dfrac12+\dfrac12e^{-2x}$。
经典练习 9 已知定义在区间 $[0,+\infty)$ 上的非负可导函数 $f(x)$ 满足 $f^2(x)=\displaystyle\int_0^x\dfrac{1+f^2(t)}{1+t^2}\,\mathrm dt$（$x\ge0$）。（1）判断函数 $f(x)$ 是否存在极值，并说明理由；（2）求 $f(x)$。
查看解析 答案：$f(x)=\sqrt{e^{\arctan x}-1}$；在 $x=0$ 处取得极小值（也是最小值）$0$ （1）由积分表达式，令 $x=0$ 得 $f^2(0)=0$，又 $f(x)\ge0$，所以 $f(0)=0$。
对积分式两边求导：$2f(x)f'(x)=\dfrac{1+f^2(x)}{1+x^2}$。当 $x>0$ 时，右侧为正，且 $f(x)>0$，所以 $f'(x)>0$。因此 $f$ 在 $[0,+\infty)$ 上递增，在端点 $x=0$ 处取得极小值 $0$。
（2）令 $g(x)=1+f^2(x)$，则 $g'(x)=2f(x)f'(x)=\dfrac{g(x)}{1+x^2}$。
分离变量得 $\dfrac{g'}{g}=\dfrac1{1+x^2}$，积分得 $\ln g=\arctan x+C$。由 $g(0)=1$，得 $C=0$。
所以 $1+f^2(x)=e^{\arctan x}$。取非负分支，$f(x)=\sqrt{e^{\arctan x}-1}$。
经典练习 10 已知 $f(x)$ 是定义在 $[0,+\infty)$ 上的非负可导函数，且曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=0,x=0$ 及 $x=t$（$t\ge0$）围成的曲边梯形的面积为 $f(t)-t^2$。（1）求函数 $f(x)$；（2）证明：当 $x>0$ 时，$f(x)>x^2+\dfrac{x^3}{3}$。
查看解析 答案：（1）$f(x)=2e^x-2x-2$；（2）证明见解析 （1）曲边梯形面积为 $\displaystyle\int_0^t f(x)\,\mathrm dx$，故 $\displaystyle\int_0^t f(x)\,\mathrm dx=f(t)-t^2$。令 $t=0$，得 $f(0)=0$。
两边对 $t$ 求导：$f(t)=f'(t)-2t$，即 $f'(t)-f(t)=2t$。积分因子为 $e^{-t}$，故 $(fe^{-t})'=2te^{-t}$。
积分得 $fe^{-t}=-2(t+1)e^{-t}+C$，即 $f(t)=Ce^t-2t-2$。由 $f(0)=0$，得 $C=2$。所以 $f(x)=2e^x-2x-2$。
（2）利用 $e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+R_3(x)$，其中当 $x>0$ 时 $R_3(x)>0$。
因此 $2e^x>2+2x+x^2+\dfrac{x^3}{3}$，从而 $2e^x-2x-2>x^2+\dfrac{x^3}{3}$。即当 $x>0$ 时 $f(x)>x^2+\dfrac{x^3}{3}$。
经典练习 11 已知函数 $y=e^{2x}$ 是微分方程 $y''-2y'+ay=0$ 的一个特解，求常数 $a$ 的值，并求该微分方程的通解。
查看解析 答案：$a=0$；$y=C_1+C_2e^{2x}$ 由 $y=e^{2x}$，得 $y'=2e^{2x}$，$y''=4e^{2x}$。
代入方程：$4e^{2x}-4e^{2x}+ae^{2x}=0$，即 $a=0$。
此时方程为 $y''-2y'=0$，特征方程 $r^2-2r=0$，根为 $r_1=0,r_2=2$。
所以通解为 $y=C_1e^{0\cdot x}+C_2e^{2x}=C_1+C_2e^{2x}$。
经典练习 12 求微分方程 $y''-2y'+(1-k)y=0$（其中常数 $k\ge0$）的通解。
查看解析 答案：$k=0$ 时 $y=(C_1+C_2x)e^x$；$k>0$ 时 $y=C_1e^{(1+\sqrt k)x}+C_2e^{(1-\sqrt k)x}$ 特征方程为 $r^2-2r+1-k=0$，可写成 $(r-1)^2=k$。
当 $k=0$ 时，特征根为二重根 $r=1$，通解为 $y=(C_1+C_2x)e^x$。
当 $k>0$ 时，特征根为 $r=1\pm\sqrt k$，是两个互异实根。
所以通解为 $y=C_1e^{(1+\sqrt k)x}+C_2e^{(1-\sqrt k)x}$。
经典练习 14 求微分方程 $y''+2y'+5y=0$ 满足初始条件 $y|_{x=0}=2$，$y'|_{x=0}=0$ 的特解。
查看解析 答案：$y=e^{-x}(2\cos2x+\sin2x)$ 特征方程为 $r^2+2r+5=0$，根为 $r=-1\pm2i$。
所以通解为 $y=e^{-x}(C_1\cos2x+C_2\sin2x)$。
由 $y(0)=2$，得 $C_1=2$。求导后在 $x=0$ 处有 $y'(0)=-C_1+2C_2$。
由 $y'(0)=0$，得 $-2+2C_2=0$，所以 $C_2=1$。
因此 $y=e^{-x}(2\cos2x+\sin2x)$。
经典练习 15 已知函数 $f(x)$ 满足 $f'(x)-4f(x)=0$，且曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线与直线 $y=2x+1$ 平行。（1）求 $f(x)$；（2）求曲线 $y=f(x)$ 的凹凸区间与拐点。
查看解析 答案：原题条件相互矛盾，不存在满足条件的函数 方程 $f'(x)-4f(x)=0$ 的通解为 $f(x)=Ce^{4x}$。
曲线经过点 $(0,0)$，所以 $f(0)=C=0$，只能得到 $f(x)\equiv0$。
此时 $f'(x)\equiv0$，曲线在原点的切线斜率为 $0$。但题设又要求切线与 $y=2x+1$ 平行，即斜率为 $2$。
$0\ne2$，条件相互矛盾，因此不存在同时满足题设的函数，也就不能进一步讨论凹凸区间与拐点。
经典练习 16 已知连续函数 $\phi(x)$ 满足 $\phi(x)=1+x+\displaystyle\int_0^x t\phi(t)\,\mathrm dt+x\int_x^0\phi(t)\,\mathrm dt$。（1）求 $\phi(x)$；（2）求由曲线 $y=\phi(x)$ 和 $x=0,x=\dfrac\pi2$ 及 $y=0$ 围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得立体的体积。
查看解析 答案：（1）$\phi(x)=\cos x+\sin x$；（2）$V=\dfrac{\pi^2}{2}+\pi$ （1）令 $x=0$，得 $\phi(0)=1$。将第二项积分改写为 $-x\displaystyle\int_0^x\phi(t)\,\mathrm dt$。
对等式求导：$\phi'(x)=1+x\phi(x)-\displaystyle\int_0^x\phi(t)\,\mathrm dt-x\phi(x)=1-\displaystyle\int_0^x\phi(t)\,\mathrm dt$。
再求导得 $\phi''(x)=-\phi(x)$，即 $\phi''+\phi=0$。由 $\phi(0)=1$，且 $\phi'(0)=1$，得 $\phi(x)=\cos x+\sin x$。
（2）旋转体体积 $V=\pi\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\cos x+\sin x)^2\,\mathrm dx=\pi\int_0^{\pi/2}(1+\sin2x)\,\mathrm dx$。
于是 $V=\pi\left[x-\dfrac12\cos2x\right]_0^{\pi/2}=\pi\left[\left(\dfrac\pi2+\dfrac12\right)-\left(-\dfrac12\right)\right]=\dfrac{\pi^2}{2}+\pi$。